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    <title>曲面的内蕴几何学</title>
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<body>

<h2>曲面的等距变换</h2>

<p class="definition">
	设 `S` 和 `bar S` 是 `E^3` 的两张曲面, 称双射 `sigma: S |-> bar S` 
	为 `S` 到 `bar S` 的一个<b>等距变换</b>, 如果 `S` 上的任意曲线 `C`
	与 `bar S` 上对应的曲线 `bar C = sigma(C)` 长度相等. 例如,
	将一张纸卷成圆筒, 圆筒与铺平的纸之间就可以建立等距变换. 显然,
	合同变换是等距变换.
</p>

<p class="theorem">
	设 `sigma` 是曲面 `S` 到 `bar S` 的双射, 则以下几款等价:
	<ol>
		<li>`sigma` 为等距变换;</li>
		<li>两曲面的第一基本形式在对应点处相等;</li>
		<li>两曲面的第一基本形式的系数矩阵满足
			<span class="formula">
				`[E,F; F,G] = J[bar E,bar F; bar F,bar G]J^T`,
				其中 `J = [(del bar u)/(del u), (del bar v)/(del u);
				(del bar u)/(del v), (del bar v)/(del v)]`;
			</span>
		</li>
		<li>可以选取适当的正交标架 `{bm e_1, bm e_2, bm e_3}` 和
			`{bm bar e_1, bm bar e_2, bm bar e_3}` 使得在对应点
			`omega_1 = bar omega_1`, `omega_2 = bar omega_2`;
		</li>
		<li>对 `S` 的任意两个切向量 `bm v`, `bm w`,
			<span class="formula">
				`(:sigma_**(bm v), sigma_**(bm w):) = (:bm v, bm w:)`.
			</span>
		</li>
	</ol>
</p>

<p class="example">
	特殊螺旋面 `(u cos v, u sin v, v)`, `u gt 0, 0 lt v lt 2 pi` 与悬链面
	`(rho cos theta, rho sin theta, cosh^-1 rho)`, `rho gt 1, 0 lt theta
	lt 2 pi` 的第一基本形式分别为
	<span class="formula">
		`"I"(u, v) = "d"u"d"u + (1+u^2)"d"v"d"v`,<br/>
		`"I"(rho, theta) = rho^2/(rho^2-1) "d"rho"d"rho + rho^2
		"d"theta"d"theta`.
	</span>
	映射 `(rho, theta) = sigma(u, v) = (sqrt(1+u^2), v)`
	是两个曲面间的一个等距变换. 事实上, 由
	<span class="formula">
		`"d"rho = (u"d"u)/sqrt(1+u^2)`, `"d"theta = "d"v`
	</span>
	有
	<span class="formula">
		`"I"(rho, theta) = (1+u^2)/(1+u^2-1) (u^2"d"u^2)/(1+u^2) +
		(1+u^2)"d"v^2 = "I"(u, v)`.
	</span>
	以上计算表明, 看似完全不同的这两个曲面,
	可以在不发生拉伸或撕裂的情形下相互转换.
</p>

<p class="definition">
	设 `S` 和 `bar S` 是 `E^3` 的两张曲面, 称双射 `sigma: S |-> bar S` 
	为 `S` 到 `bar S` 的一个<b>保角变换</b>,
	如果它保持任意两条相交曲线在交点的夹角不变, 即对 `S` 的任意两个切向量
	`bm v, bm w`,
	<span class="formula">
		` (:bm v, bm w:)/(|bm v| |bm w|)`
		`= (:sigma_**(bm v), sigma_**(bm w):)
    /(|sigma_**(bm v)| |sigma_**(bm w)|)`.
	</span>
	显然, 等距变换是保角变换.
</p>

<p class="theorem">
	设 `sigma` 是曲面 `S` 到 `bar S` 的双射. 则 `sigma`
	为保角变换当且仅当存在正函数 `lambda` 使得在参数区域 `D` 上恒成立
	`bar "I" = lambda^2 "I"`.
</p>

<p class="theorem">
  <b>(陈省身)</b> 任意曲面都可以在局部和欧氏平面建立保角变换.
	由于欧氏平面的度量 (第一基本形式) 为 `"d"u"d"u + "d"v"d"v`,
	因此上述定理等价地说, 对曲面上任一点, 存在一邻域和定义在其上的正函数
	`lambda` 使曲面的第一基本形式在参数 `(u, v)` 下为
	<span class="formula">
		`"I" = lambda^2(u, v) ("d"u"d"u+"d"v"d"v)`.
	</span>
	这时称 `(u, v)` 为<b>等温参数 (isothermal parameters)</b>.
</p>

<h2>曲面的协变微分</h2>

<p>	回顾正交标架下的五个一阶微分形式 `omega_1, omega_2, omega_12,
	omega_13, omega_23`, 其中前三个满足结构方程式
	<span class="formula">
		`"d"omega_1 = omega_12 ^^ omega_2`,<br/>
		`"d"omega_2 = omega_21 ^^ omega_1`
		<span class="label">(5-1)</span>
	</span>
	和 Gauss 方程
	<span class="formula">
		`"d"omega_12 = -K omega_1 ^^ omega_2`.
	</span>
	称 `omega_12` 为曲面关于正交标架的<b>联络形式</b>, 它由方程 (5-1)
	唯一确定, 事实上,
	<span class="formula">
		` omega_12 = -omega_21
		= ("d"omega_1)/(omega_1 ^^ omega_2) omega_1
		+ ("d"omega_2)/(omega_1 ^^ omega_2) omega_2`.
	</span>
	于是联络形式只由 `omega_1, omega_2`, 换言之, 只由第一基本形式
	`omega_1 omega_1 + omega_2 omega_2` 决定.
</p>

<p class="theorem">
	<b>Gauss 绝妙定理 (Theorema Egregium)</b>
	曲面的 Gauss 曲率 `K = -("d"omega_12)/(omega_1 ^^ omega_2)`
	由第一基本形式完全决定.
</p>

<p> 这就是说, Gauss 曲率是<b>内蕴</b>的, 它只与曲面的度量有关,
	和曲面的具体嵌入 (如三维欧氏空间 `E^3`) 无关.
	在等距变换下, Gauss 曲率保持不变.
</p>

<p class="example">
	曲面在等温参数 `(u, v)` 下的 Gauss 曲率
	<span class="formula">
		`K = -(laplace ln lambda)/lambda^2`,
	</span>
	其中 `"I" = lambda^2 ("d"u"d"u + "d"v"d"v)`, `laplace` 是 Laplace 算子.
</p>

<p class="solution">
	取 `omega_1 = lambda "d"u`, `omega_2 = lambda "d"v`, 有
	<span class="formula">
		`omega_1 ^^ omega_2 = lambda^2 "d"u ^^ "d"v`,<br/>
		`"d"lambda = lambda_u "d"u + lambda_v "d"v`,<br/>
		`"d"omega_1 = "d"lambda ^^ "d"u = -lambda_v "d"u ^^ "d"v`,<br/>
		`"d"omega_2 = "d"lambda ^^ "d"v = lambda_u "d"u ^^ "d"v`,<br/>
		`omega_12 = -lambda_v/lambda "d"u + lambda_u/lambda "d"v
		= -(ln lambda)_v "d"u + (ln lambda)_u "d"v`.
	</span>
	所以
	<span class="formula">
		` K = -("d"omega_12)/(omega_1 ^^ omega_2)`
		`= -(((ln lambda)_(u u) + (ln lambda)_(v v)) "d"u ^^ "d"v)
		/ (lambda^2 "d"u ^^ "d"v)`
		`= -(laplace ln lambda)/lambda^2`.
	</span>
	若引入复坐标 `z = u + iv` 和
	<span class="formula">
		`del/(del z) = 1/2 (del/(del u) - i del/(del v))`,
		`del/(del bar z) = 1/2 (del/(del u) + i del/(del v))`,
	</span>
	则
	<span class="formula">
		`K = - 4/lambda^2 del^2/(del z del bar z) ln lambda`.
	</span>
</p>

<p>	内蕴几何的观点是只考虑标架微分在切平面内的部分, 为此引入协变微分,
	它是平面普通微分在曲面上的推广.
</p>

<p class="definition">
	称标架微分落在切平面内的部分为标架的<b>协变微分</b>, 即
	<span class="formula">
		`"D" bm e_1 = omega_12 bm e_2`,
		`quad "D" bm e_2 = omega_21 bm e_1`.
	</span>
	一般的切向量场 `bm v = f_1 bm e_1 + f_2 bm e_2`
	的协变微分定义为 `"d"bm v` 在切平面内的投影
	<span class="formula">
		` "D"bm v = (:"d"bm v, bm e_1:) bm e_1 + (:"d"bm v, bm e_2:) bm e_2`
		`= ("d"f_1 + f_2 omega_21) bm e_1 + ("d"f_2 + f_1 omega_12) bm e_2`.
	</span>
	由于 `"d"bm v` 与正交标架 `{bm e_1, bm e_2}` 的选取无关,
	所以协变微分也与正交标架的选取无关.
</p>

<ol class="theorem">
	设 `bm v, bm w` 的曲面的切向量场, `f` 是曲面上的函数, 则
	<li>`"D"(bm v + bm w) = "D"bm v + "D"bm w`;</li>
	<li>`"D"(f bm v) = "d"f bm v + f "D"bm v`;</li>
	<li>`"D"(:bm v, bm w:) = (:"D"bm v, bm w:) + (:bm v, "D"bm w:)`.</li>
</ol>

<p>
	利用协变微分, 可以推广平移的概念到曲面上.
</p>

<p class="definition">
  <b>Levi-Civita 平行</b>
	设 `gamma(t)`, `t in [a, b]` 是曲面上的一曲线,
  `bm v(t)` 是定义在该曲线上的切向量场 (曲面的切向量).
	如果 `("D"bm v)/dt = bb 0`, 则称 `bm v` 沿 `gamma` 平行.
</p>

<p class="theorem">
  设 `gamma(t)`, `t in [a, b]` 是曲面上的一曲线, 起点为 `gamma(a) = P`.
  则曲面在 `P` 点处的任一切向量 `bm v_0` 都可以沿 `gamma` 平移.
  换言之, 沿 `gamma` 平行, 且满足初值条件 `bm v(a) = bm v_0` 的切向量场
  `bm v` 存在且唯一.
</p>

<p class="proof">
	条件 `("D"bm v)/dt = bb 0` 等价于
	<span class="formula">`{
		("d"f_1)/dt + f_2 omega_21/dt = 0;
		("d"f_2)/dt + f_1 omega_12/dt = 0;
	:}` </span>
	当曲线 `gamma` 给定后, 上式是关于函数 `f_1, f_2` 的一阶常微分方程组.
	由一阶常微分方程初值问题解的存在唯一性定理可得结论.
</p>

<p class="theorem">
	设 `bm v, bm w` 是曲面上沿曲线 `gamma` 的两个平行切向量场,
	则 `(:bm v, bm w:)` 为常数.
</p>

<p class="proof">
	`("D"bm v)/dt = ("D"bm w)/dt = bb 0` 等价于
	<span class="formula">
		`(:"d"bm v, bm e_1:) = (:"d"bm v, bm e_2:)`
    `= (:"d"bm w, bm e_1:) = (:"d"bm w, bm e_2:) = 0`,
	</span>
	从而对曲线 `gamma` 上任一点处的任一切向量 `bm t = a bm e_1 + b bm e_2`
	都有
	<span class="formula">
		`(:"d"bm v, bm t:) = (:"d"bm w, bm t:) = 0`.
	</span>
	所以
	<span class="formula">
		` "d"(:bm v, bm w:)
		= (:"d"bm v, bm w:) + (:bm v, "d" bm w:)
		= 0`.
	</span>
</p>

<p class="corollary">
	曲面上的平行移动保持切向量的长度和两个切向量间的夹角不变.
</p>

<p class="remark">
	将 Levi-Civita 平行定义中的协变微分换成普通微分 `"d"`, 曲面换成欧氏平面,
	所定义的就是普通欧氏平面上的平移.
	这两种平移都保持向量的长度和夹角不变, 但与欧氏平面的平移不同,
	曲面上的平移一般与路径选择有关.
</p>

<h2>测地曲率与测地线</h2>

<h3>测地曲率</h3>

<p>	此前已经研究过曲率向量 `("d"^2 bm r)/("d"s^2)` 在法方向上的分量,
	即法曲率 `k_n = (:("d"^2 bm r)/("d"s^2), bm n:)`.
	现在, 用协变微分研究其切向部分, 即测地曲率.
</p>

<p class="definition">
	设 `S: bm r(u, v)` 是 `E^3` 的曲面,
	`bm r(s) = bm r(u(s), v(s))` 是曲面上一条弧长参数曲线.
	沿该曲线取曲面的正交标架 `{bm e_1, bm e_2, bm e_3}`, 使得
		`bm e_1 = ("d"bm r)/("d"s)`,
		`bm e_3 = bm n`,
		`bm e_2 = bm e_3 ^^ bm e_1`.
	定义 `bm r(s)` 的<b>测地曲率</b>为
	<span class="formula">
		`k_g := (:("d"^2 bm r)/("d"s^2), bm e_2:)`
		`= (:("d"bm e_1)/("d"s), bm e_2:)`
		`= (:("D"bm e_1)/("d"s), bm e_2:)`
		`= omega_12/("d"s)`.
	</span>
	称
	<span class="formula">
		`bm k_g = ("D"bm e_1)/("d"s) = k_g bm e_2`
	</span>
	为曲线的<b>测地曲率向量</b>. 它是曲率向量在切平面的投影.
</p>

<p class="remark">
	测地曲率是平面曲线曲率在曲面的推广,
	它只依赖于曲线的选取和曲面的联络形式, 是内蕴的几何量.
</p>

<p class="corollary">
	易知曲率向量有如下分解
	<span class="formula">
		`("d"^2 bm r)/("d"s^2) = k_g bm e_2 + k_n bm e_3`.
	</span>
  因此 `kappa^2 = k_g^2 + k_n^2`.
</p>

<p class="theorem">
	<b>Liouville 公式</b>
	设 `(u, v)` 是曲面的正交参数, `"I" = E"d"u"d"u + G"d"v"d"v`,
	`bm r(s) = bm r(u(s), v(s))` 是曲面上的弧长参数曲线,
	它与 `u` 线的夹角为 `theta`, 则它的测地曲率 `k_g` 满足
  <span class="formula">
    `k_g "d"s = "d"theta + omega_12`,<br>
		`k_g = ("d"theta)/("d"s) - (ln E)_v/(2sqrt G) cos theta
		+ (ln G)_u/(2sqrt E) sin theta`.
	</span>
</p>

<p class="proof">
	取 `omega_1 = sqrt E "d"u`, `omega_2 = sqrt G "d" v`,
  回忆 <a href="4.html#for-omega-12">(4-13)</a>:
	<span class="formula">
		`omega_12 = -(sqrt E)_v/sqrt G "d"u + (sqrt G)_u/sqrt E "d"v`.
	</span>
	沿曲线 `bm r(s)` 取正交标架 `{bar bm e_1, bar bm e_2, bar bm e_3}`,
	由于曲线与 `u` 线的夹角为 `theta`, 有
	<span class="formula">
		`[bar bm e_1; bar bm e_2] = [cos theta, -sin theta; sin theta,
		cos theta] [bm e_1; bm e_2]`.
	</span>
	于是
	<span class="formula">
		`k_g = bar omega_12/("d"s) = ("d"theta)/("d"s) + omega_12/("d"s)`.
	</span>
  利用
	<span class="formula">
		` sqrt E ("d"u)/("d"s)`
		`= omega_1/("d"s)`
		`= (:("d"bm r)/("d"s), bm e_1:)`
		`= cos theta`,<br/>
		` sqrt G ("d"v)/("d"s)`
    `= omega_2/("d"s)`
    `= (:("d"bm r)/("d"s), bm e_2:)`
    `= sin theta`
	</span>
  得
  <span class="formula">
    `k_g = ("d"theta)/("d"s) - (sqrt E)_v/sqrt(E G) cos theta + (sqrt
    G)_u/sqrt(E G) sin theta`,
  </span>
  即得结论.
</p>

<h3>测地线</h3>

<p class="definition">
	曲面上测地曲率等于 0 的曲线称为该曲面的<b>测地线</b>.
</p>

<p class="corollary">
	设 `bm r(s)` 是曲面上的弧长参数曲线, 由曲率向量的分解式
  <span class="formula">
    `("d"^2 bm r)/("d"s^2) = bm k_g + k_n bm n`
  </span>
  知道, `bm r(s)` 是测地线当且仅当 `bm k_g -= bb 0`, 也当且仅当曲率向量
  `("d"^2 bm r)/("d"s^2)` 平行于法向量 `bm n`.
	特别地, 任何曲面上的直线都是测地线, 因为它满足
  `("d"bm r^2)/("d"s^2) = bb 0`.
</p>

<p class="corollary">
  <b>测地线方程</b>
	根据自然标架的运动方程
  <span class="formula align">
    ` ("d"^2 bm r)/("d"s^2)
    = "d"/("d"s) (bm r_alpha ("d"u^alpha)/("d"s))`<br>
    `= ("d"bm r_beta)/("d"s) ("d"u^beta)/("d"s)
    + bm r_alpha ("d"^2 u^alpha)/("d"s^2)`<br>
    `= (("d"^2 u^alpha)/("d"s^2) + Gamma_(beta gamma)^alpha
      ("d"u^beta)/("d"s) ("d"u^gamma)/("d"s)) bm r_alpha
      + b_(alpha beta) ("d"u^beta)/("d"s) ("d"u^gamma)/("d"s) bm n`,
  </span>
  故 `bm r(s)` 是测地线当且仅当
  <span class="formula">
    ` ("d"^2 u^alpha)/("d"s^2) + Gamma_(beta gamma)^alpha
    ("d"u^beta)/("d"s) ("d"u^gamma)/("d"s) = 0`,
    `quad alpha = 1,2`.
  </span>
</p>

<p>	借助测地线方程, 我们将导出一系列测地线的性质,
  可以类比平面上直线的性质.
</p>

<p class="theorem">
  <b>测地线的存在唯一性</b>
	曲面上过任意一点, 沿任意切向 (局部) 存在唯一一条测地线.
	这可以由测地线方程在初值条件下解的存在唯一性推出.
</p>

<p class="theorem">
	等距变换下, 测地线仍变为测地线. 这是因为测地曲率由第一基本形式决定.
</p>

<p class="example">
	<b>球面上的测地线</b>
	取球面上的点 `P` 与 `P` 点的切向量 `bm v`, 向量 `vec(OP)` 和 `bm v`
	张成的平面与球面交于一个圆 `Gamma`, `bm v` 也是 `Gamma` 的切向量.
	容易看出, `Gamma` 的主法向和球面的法向重合, 所以 `Gamma`
	是球面的测地线. 由测地线的唯一性,
	球面的测地线就是过球心的平面与球面所交的圆, 这类圆称为球面的大圆.
</p>

<p class="example">
	<b>圆柱面上的测地线</b>
	平面的测地线是直线. 利用等距变换, 圆柱面的测地线就是:
	将平面卷成圆柱面时, 由平面直线变成的曲线.
	容易发现它们是平行圆与圆柱螺线.
	自然界的攀缘植物沿螺线生长, 是测地线的一个例子.
</p>

<p class="theorem">
	在曲面上, 联结两点的长度最短的曲线是测地线.
</p>

<div class="proof">
	我们用变分法来证明. 设弧长参数曲线 `bm r(s) = bm r(u^1(s), u^2(s))`,
	`s in [0, l]`, `bm r(0) = P`, `bm r(l) = Q` 是曲面上联结 `P, Q`
	的最短曲线. 沿着 `bm r(s)` 取曲面的正交标架
	`{bm e_1 = ("d"bm r)/("d"s), bm e_2 = bm n ^^ bm e_1, bm e_3 = bm n}`.
	设沿着 `bm r(s)`,
	<span class="formula">
		`bm e_2 = a^1(s) (del bm r)/(del u^1) + a^2(s) (del bm r)/(del u^2)`
    `= a^1 bm r_1 + a^2 bm r_2`,
	</span>
	又设 `f in C[0, l]`, `f(0) = f(l) = 0`. 考虑曲面上一族曲线
	<span class="formula">
		`bm r^lambda(s) = bm r(u^1 + lambda a^1 f, u^2 + lambda a^2 f)`,
		`quad lambda in (-epsi, epsi)`.
	</span>
	可以验证 `bm r^lambda` 满足
	<ol>
		<li>`bm r^0(s) = bm r(s)`;</li>
		<li>`bm r^lambda(0) = P`, `bm r^lambda(l) = Q`, `AA lambda in
			(-epsi, epsi)`;
		</li>
		<li>`(del bm r^lambda)/(del lambda)|_(lambda=0) = (a^1 bm r_1 +
			a^2 bm r_2) f = f bm e_2`.
		</li>
	</ol>
	曲线族 `{bm r^lambda}` 称为 `bm r^0(s) = bm r(s)` 的一个变分.
	记
	<span class="formula">
		`L(lambda) = int_0^l |(del bm r^lambda)/(del s)| "d"s`
	</span>
	为 `bm r^lambda` 的长度 (注意 `s` 仅是曲线 `bm r^0` 的弧长参数),
	利用公式
  <span class="formula">
    `("d"r)/dt = "d"/dt sqrt((:bm r, bm r:))`
    `= (:bm r, ("d"bm r)/dt:)/sqrt(:bm r, bm r:)`
    `= 1/r (:bm r, ("d"bm r)/dt:)`,
  </span>
  有
	<span class="formula align">
		` {:del/(del lambda) |(del bm r^lambda)/(del s)| |_(lambda=0)`
		`= {:|(del bm r^lambda)/(del s)|^-1 (:(del bm r^lambda)/(del s),
    del/(del lambda) (del bm r^lambda)/(del s):)|_(lambda=0)`<br>
    `= {:(:(del bm r^lambda)/(del s),
    del/(del s)(del bm r^lambda)/(del lambda):)|_(lambda=0)`<br>
    `= (:bm e_1, "d"/("d"s) (f bm e_2) :)`<br>
		`= (:bm e_1, ("d"f)/("d"s) bm e_2:)
    + (:bm e_1, f{::} ("d"bm e_2)/("d"s):)`<br>
		`= 0 + f omega_21/("d"s)`
		`= -f k_g`.
	</span>
	这里 `k_g` 是曲线 `bm r(s)` 的测地曲率. 由最短假设,
	<span class="formula">
		` 0 = {:("d"L)/("d"lambda)|_(lambda=0)`
		`= int_0^l{:del/(del lambda)|(del bm r^lambda)/(del s)| |_(lambda=0)
		  "d"s`
		`= -int_0^l f k_g "d"s`.
	</span>
	容易推出 `k_g -= 0`, 即 `bm r(s)` 是测地线.
</div>

<p class="remark">
	此定理的逆不成立, 比如在球面上取两点, 它们的连线不过球心,
	则过这两点有唯一一个大圆. 在圆上联结它们的劣弧是最短测地线,
	联结它们的优弧也是测地线, 但不是最短的.
</p>

<h3>Gauss-Bonnet 公式</h3>

<p class="theorem">
  <b>Gauss-Bonnet 公式</b>
  设 `S` 是 `E^3` 的曲面, `D` 是曲面上一块单连通区域, `del D` 分段光滑.
	设 `theta_i` 是 `del D` 的顶点的外角, 则
	<span class="formula">
		`iint_D K "d"A + oint_(del D) k_g "d"s + sum theta_i = 2 pi`.
	</span>
</p>

<p class="proof">
	取 `S` 的正交标架 `bm e_1, bm e_2`, 在 `D` 上对 Gauss 方程
	<span class="formula">
		`"d"omega_12 = -K omega_1 ^^ omega_2 = -K "d"A`
	</span>
	两边积分, 应用 Green 公式就有
	<span class="formula">
		`iint_D K "d"A = -iint_D "d"omega_12 = -oint_(del D) omega_12`.
	</span>
	设 `del D` 与 `bm e_1` 的夹角为 `theta`,
  在每一光滑的小段上由 Liouville 公式有
	<span class="formula">
		`k_g "d"s = "d"theta + omega_12`.
	</span>
	于是
	<span class="formula">
		` iint_D K "d"A + oint_(del D) k_g "d"s`
		`= -oint_(del D) omega_12 + oint_(del D) ("d"theta + omega_12)`
		`= oint_(del D) "d" theta`.
	</span>
	余下的证明是直观的.
</p>

<ul class="corollary">
	曲面三角形的内角和
	<span class="formula">
		`sum_(i=1)^3 beta_i = sum_(i=1)^3 (pi - theta_i)
		= iint_D K "d"A + oint_(del D) k_g "d"s + pi`.
	</span>
	当曲面为平面时, 第一个积分为 0; 当三边都是测地线时, 第二个积分为 0.
  因此
  <li>平面三角形的内角和等于 `pi`.</li>
  <li>`K gt 0` (如凸面或凹面) 时, 曲面的测地三角形内角和大于 `pi`,
    `K lt 0` (如马鞍面) 时, 小于 `pi`.</li>
</ul>

<p class="corollary">
  <b>曲面上向量沿光滑闭曲线平移产生的角度差</b>
	设 `alpha(s)` 是沿曲线平行向量场 `bm v(s)` 与 `bm e_1` 的夹角,
	则由 `bm v` 的平行性,
	<span class="formula align">
    `bb 0 = "D"bm v`<br>
    `= "D" (bm e_1 cos alpha + bm e_2 sin alpha)`<br>
		`= (-bm e_1 sin alpha + bm e_2 cos alpha) "d"alpha`
    `+ omega_12 bm e_2 cos alpha + omega_21 bm e_1 sin alpha`<br>
    `= (bm e_2 cos alpha - bm e_1 sin alpha)("d"alpha + omega_12)`.
	</span>
	因此 `"d"alpha = -omega_12`. 积分得角度差
	<span class="formula">
		`oint_(del D) "d"alpha`
		`= -oint_(del D) omega_12`
		`= iint_D K "d"A`.
	</span>
	可以看出, 平移的角度差是由曲面弯曲 (`K`) 引起的.
</p>

<h2>测地坐标系</h2>

<h3>测地平行坐标系</h3>

<h3>法坐标系和测地极坐标系</h3>

<p class="definition">
  <b>指数映射</b>
	设 `bm v` 是曲面上 `P` 点处的一个单位切向量,
	`gamma(bm v, s)` 是从 `P` 点出发, 与 `bm v` 相切, 以 `s ge 0`
	为弧长参数的测地线, 又称<b>测地射线</b>. `s` 的定义范围可能很小, 且与
	`bm v` 有关, 但 `bm v` 的全体是单位圆周, 这是一个紧致集合.
  记 `P` 点处的切平面为 `T_P S`,
	利用常微分方程解对初值的连续性可以证明: 存在 `epsi gt 0`,
	使得对任意单位切向量 `bm v in T_P S`, `gamma(bm v, s)` 都在 `[0,
	epsi)` 上有定义. 据此, 对任意非零切向量 `rho bm v` (`rho gt 0`, `bm v`
	是单位切向量), 定义<b>指数映射</b> `exp_P: T_P S |-> S` 如下:
	<span class="formula">
		`exp_P(rho bm v) = gamma(bm v, rho)`,
		`quad rho in [0, epsi)`.
	</span>
	指数映射将切平面原点的一个小邻域映到曲面上,
	它将切平面上过原点的直线映为曲面上过 `P` 点的测地线,
	将切平面上以原点为心的圆映为曲面上的<b>测地圆</b>.
</p>

<p class="definition">
  <b>法坐标系和测地极坐标系</b>
	取 `P` 点的正交标架 `bm e_1, bm e_2`, 建立切平面 `T_P S` 的直角坐标系.
	则曲面 `S` 在 `P` 附近有参数表示
	<span class="formula">
		`bm r(x^1, x^2) = exp_P(x^1 bm e_1 + x^2 bm e_2)`.
	</span>
	利用参数变换 `{ x^1 = rho cos theta; x^2 = rho sin theta :}`, 则
	曲面 `S` 在 `P` 附近也有参数表示
	<span class="formula">
		`bm r(rho, theta) = exp_P(rho cos theta bm e_1 + rho sin theta bm
		e_2)`.
	</span>
	`(x^1, x^2)` 与 `(rho, theta)`
	分别称为曲面的<b>法坐标系</b>和<b>测地极坐标系</b>.
	测地极坐标系下,
  `theta` 为常数的线称为 <b>`rho` 线</b>, 它是过 `P` 点的测地线.
  `rho` 为常数的线称为 <b>`theta` 线</b>, 它是以 `rho` 的半径的测地圆.
</p>

<p class="theorem">
	法坐标系 `(x^1, x^2)` 在原点处满足
	<span class="formula">
		`g_(alpha beta) = delta_(alpha beta)`,
		`quad Gamma_(beta gamma)^alpha = (del g_(alpha beta))/(del x^gamma) =
		0`, `quad alpha, beta, gamma = 1, 2`.
	</span>
</p>

<p class="theorem" id="the-geo-polar-lim">
	在测地极坐标系 `(rho, theta)` 中,
	<span class="formula">
		`"I" = "d"rho^2 + G "d"theta^2`,<br/>
		`lim_(rho to 0) sqrt G = 0`,
    `quad lim_(rho to 0) (sqrt G)_rho = 1`.
	</span>
</p>

<p class="corollary">
  常 Gauss 曲率曲面的第一基本形式
  <span class="formula">
    `"I" = {
      "d"rho^2 + rho^2 "d"theta^2, if K = 0;
      "d"rho^2 + (sin^2 a rho)/a^2 "d"theta^2, if K = a^2;
      "d"rho^2 + (sinh^2 a rho)/a^2 "d"theta^2, if K = -a^2;
    :}`
  </span>
	因为 `K` 为常数时, 第一基本形式由 `K` 完全决定.
	所以相同常 Gauss 曲率的曲面, 局部间可以建立等距变换.
</p>

<div class="proof">
	先计算 Gauss 曲率.
	<span class="formula">
		`omega_1 = "d"rho`, `quad omega_2 = sqrt G "d"theta`,<br/>
		`omega_12 = ("d"omega_1)/(omega_1 ^^ omega_2) omega_1 +
			("d"omega_2)/(omega_1 ^^ omega_2) omega_2`
		`= ("d"sqrt G ^^ "d"theta)/(sqrt G "d"rho ^^ "d"theta) sqrt G
			"d"theta`
		`= (sqrt G)_rho "d"theta`,<br/>
		`K = -("d"omega_12)/(omega_1 ^^ omega_2)`
		`= -("d"((sqrt G)_rho) ^^ "d"theta)/(sqrt G "d"rho ^^ "d"theta)`
		`= -((sqrt G)_(rho rho))/sqrt G`.
	</span>
	当 `K` 为常数时, 得到关于 `sqrt G` 的二阶常系数常微分方程
	<span class="formula">
		`(sqrt G)_(rho rho) + K sqrt G = 0`.
	</span>
  根据 `K` 的正负讨论如下.
  其中系数 `f(theta)` 和 `g(theta)` 可以由<a class="ref" href="#the-geo-polar-lim"></a> 确定.
  <table>
    <tr>
      <th>`K`</th>
      <th>`sqrt G`</th>
      <th>`f(theta)`</th>
      <th>`g(theta)`</th>
    </tr>
    <tr>
      <td>`0`</td>
      <td>`f(theta) rho + g(theta)`</td>
      <td>`1`</td>
      <td>`0`</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>`a^2 gt 0`</td>
      <td>`f(theta) cos a rho + g(theta) sin a rho`</td>
      <td>`0`</td>
      <td>`1/a`</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>`-a^2 lt 0`</td>
      <td>`f(theta) cosh a rho + g(theta) sinh a rho`</td>
      <td>`0`</td>
      <td>`1/a`</td>
    </tr>
  </table>
  再应用<a class="ref" href="#the-geo-polar-lim"></a> 即得结论.
</div>

<p>	利用测地极坐标系还可以证明:</p>

<p class="corollary">
  <b>测地线的极小性质</b>
	对曲面上任意一点 `P`, 存在邻域 `U`, 使得对任意 `Q in U`, 在 `U` 内联结
	`P, Q` 两点的测地线是所有在 `U` 内联结 `P, Q` 两点的曲线中最短的.
</p>

<h2>曲面的 Laplace 算子*</h2>

<h2>Riemann 度量*</h2>

<script src="../../js/note.js?type=math"></script>
</body>
</html>
